在中国的行政法中，行政机关的职责包括依法履行其法定义务和提供公共服务。当行政机关未能履行这些职责时，可能会对公民、法人或者其他组织的权益造成损害。在这种情况下，申请人可以通过以下方式维权：

1. 提起行政诉讼：根据《中华人民共和国行政诉讼法》的规定，公民、法人或其他组织认为行政机关或行政机关工作人员的具体行政行为侵犯其合法权益的，有权依照本法向人民法院提起诉讼。如果行政机关没有履行法定职责，这种不作为也是一种具体行政行为，因此，申请人可以向法院提起行政诉讼。

2. 申请行政复议：《中华人民共和国行政复议法》规定，公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。如果申请人认为行政机关的不作为是一种具体行政行为，也可以通过行政复议程序寻求救济。

3. 申请国家赔偿：如果由于行政机关的不作为导致申请人的人身权、财产权等合法权益受到损害，申请人可以根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，要求行政机关进行相应的赔偿。

下面我们来看一个具体的案例分析：

【案例】某市环保局接到群众举报称某工厂排放污水污染了周边环境，但环保局并未采取任何措施制止该工厂的行为。当地居民李某受影响较大，于是他决定采取行动保护自己的权益。

首先，李某可以选择直接向人民法院提起行政诉讼，要求环保局履行监管职责，并对工厂的环境违法行为进行处理。同时，李某还可以请求法院判令环保局承担因不作为导致的损失赔偿责任。

其次，李某也可以选择先向市政府或者省环境保护厅提出行政复议申请，要求上级机关责令环保局履行职责并给予必要的处罚。如果复议结果不能满足李某的要求，他仍然可以在法定期限内提起行政诉讼。

无论是提起行政诉讼还是申请行政复议，李某都需要准备充分的证据材料，证明环保局确实存在不作为的事实，以及这种不作为与他所遭受的损害之间有因果关系。此外，他还应该熟悉相关的法律法规，以便在诉讼过程中更好地维护自己的权益。

总之，面对行政机关的不作为，申请人可以通过多种途径维权，包括但不限于提起行政诉讼、申请行政复议和国家赔偿等方式。在实际操作中，申请人应当根据自己的具体情况选择最合适的维权手段，并在专业人士的指导下做好充分的准备工作。