行政复议是指公民、法人或者其他组织不服行政机关作出的具体行政行为，认为该行为侵犯其合法权益，依法向上一级行政机关或者法律规定的其他机关提出申请，由受理机关根据法定程序对原具体行政行为的合法性和适当性进行审查并作出决定的制度。行政复议决定作出后，为了确保行政复议决定的执行和监督，需要进行行政复议决定履行备案流程。本文将详细介绍这一流程及其法律依据。

一、行政复议决定履行的法律规定 《中华人民共和国行政复议法》第三十三条规定：“申请人逾期不起诉又不履行行政复议决定的，或者不履行最终裁决的行政复议决定的，按照下列规定分别处理：（一）维持具体行政行为的行政复议决定，由作出具体行政行为的行政机关依法强制执行，或者申请人民法院强制执行；（二）变更具体行政行为的行政复议决定，由行政复议机关依法强制执行，或者申请人民法院强制执行。”

《中华人民共和国行政复议法实施条例》第五十二条进一步明确：“具体行政行为有下列情形之一的，行政复议机关可以制作行政复议意见书：（一）认定事实清楚，证据确凿，程序合法，但是明显不当或者适用依据错误的；（二）认定事实不清，证据不足，但是经行政复议机关审理查明事实的。行政复议意见书应当送交下级行政机关，告知其依法采取相应的补救措施；必要时，行政复议机关可以责令其重新作出具体行政行为。”

二、行政复议决定履行的备案流程 1. 送达行政复议决定书：行政复议机关应当在作出行政复议决定之日起七日内，将行政复议决定书送达申请人、被申请人和第三人。 2. 执行行政复议决定：行政复议决定生效后，申请人、被申请人和第三人应当按照行政复议决定的内容执行。如果行政复议决定是维持原具体行政行为的，由作出原具体行政行为的行政机关负责执行；如果是变更了原具体行政行为的，则由行政复议机关负责执行。 3. 申请法院强制执行：如果被申请人或 第三人拒绝执行行政复议决定，行政复议机关可以根据情况向人民法院申请强制执行。 4. 行政复议意见书的发出与落实：在特定情况下，行政复议机关可以通过发布行政复议意见书的形式要求下级行政机关采取相应补救措施或重新做出具体行政行为。 5. 备案登记：行政复议机关应将已执行的行政复议决定和相关材料报本级人民政府法制部门备案。 6. 监督检查：上级行政机关有权对下级行政机关执行行政复议决定的情况进行检查，发现违反行政复议决定的，应及时予以纠正。 7. 法律责任：对于拒不执行行政复议决定的行为，有关责任人员可能面临纪律处分或其他法律责任。

三、相关案例分析 例如，在某环保行政处罚案件中，某企业因违法排污被当地环保局罚款10万元。企业对此处罚决定不服，提起了行政复议。行政复议机关经过审查，认定环保局的处罚决定虽然证据充分，但存在裁量不当的问题，因此作出了变更罚款金额的决定，将罚款减少至8万元。

在这一案例中，行政复议决定作出后，首先需要送达给各方当事人，然后由环保局执行新的罚款决定。如果企业仍不履行，行政复议机关可以向法院申请强制执行。同时，行政复议机关还可能会通过行政复议意见书的方式指出环保局在执法过程中存在的问题，并要求其改进工作。最后，行政复议决定的相关资料会被报送至地方政府法制部门进行备案登记，以便接受监督检查。